birebir fonksiyon ne demek?

Bir birebir fonksiyon (aynı zamanda injektif fonksiyon veya tek-değerli fonksiyon olarak da adlandırılır), tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesindeki farklı elemanlara eşleştirildiği bir fonksiyondur. Başka bir deyişle, fonksiyonun çıktı değerleri tekrar etmez.

Daha formal olarak, bir f: A → B fonksiyonunun birebir olması için şu koşul sağlanmalıdır:

∀x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Bu ifade, A kümesindeki herhangi iki farklı eleman x₁ ve x₂ için, bunların fonksiyon f tarafından eşleştirildikleri değerler f(x₁) ve f(x₂)'nin de farklı olması gerektiğini belirtir. Eğer f(x₁) = f(x₂) ise, o zaman mutlaka x₁ = x₂'dir.

Birebir Fonksiyonun Özellikleri:

• Her çıktı değeri en fazla bir girdi değerine karşılık gelir. Bir çıktı değeri birden fazla girdi değerine karşılık geliyorsa, fonksiyon birebir değildir.
• Yatay çizgi testi: Bir fonksiyonun grafiğini çizdiğinizde, herhangi bir yatay çizgi grafiği en fazla bir noktada kesiyorsa, fonksiyon birebirdir. Eğer bir yatay çizgi grafiği iki veya daha fazla noktada kesiyorsa, fonksiyon birebir değildir.
• Ters fonksiyon: Birebir ve örten (sürjektif) bir fonksiyonun (yani her B kümesi elemanının A kümesinde bir ön-görüntüsü varsa) ters fonksiyonu vardır. Ters fonksiyon, orijinal fonksiyonun yaptığı eşleştirmenin tersini yapar.

Örnekler:

• f(x) = 2x: Bu fonksiyon birebirdir çünkü farklı x değerleri farklı 2x değerleri üretir.
• f(x) = x²: Bu fonksiyon birebir değildir çünkü örneğin f(2) = f(-2) = 4'tür. (Yatay çizgi testi ile de kolayca görülebilir.)
• f(x) = x³: Bu fonksiyon birebirdir.

Birebir Olmayan Fonksiyon Örneği:

• f(x) = x² (Yukarıda açıklandığı gibi)

Özetle: Birebir fonksiyonlar, her girdi değerine tek bir çıktı değeri eşleştiren ve hiçbir çıktı değerinin birden fazla girdi değerine karşılık gelmediği fonksiyonlardır. Bu özellik, matematik ve bilgisayar bilimlerinde birçok uygulamaya sahiptir.